Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de Maclaurin de e x ,   s e n   x ,   t g - 1 x ,   e ln ⁡ ( 1 + x ) .

f x = ln ⁡ ( 4 - x )

Passo 1

Primeiramente, sabemos que

∫ 1 4 - x d x =   - ln ⁡ 4 - x + C

E também:

∫ 1 4 - x d x = 1 4 ∫ 1 1 - x / 4 d x

O que é a mesma coisa que:

= 1 4 ∫ ∑ n = 0 ∞ x 4 n d x

= 1 4 ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n ( n + 1 ) + C

Passo 2

Então:

ln ⁡ 4 - x = - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n n + 1 + C

= -   ∑ n = 0 ∞ x n + 1 4 n + 1 n + 1 + C  

=   ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n 4 n + C

Fazendo x = 0 , encontramos C = ln ⁡ 4 .

Passo 3

Então, a gente encontrou

f x = ln ⁡ 4 - x = ln ⁡ 4 - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n 4 n  

A série converge para x 4 < 1 → x < 4 .

Então o raio de convergência é R = 4 .

Resposta

x = ln ⁡ 4 - x = ln ⁡ 4 - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n 4 n

R = 4

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