Enunciado

O significado da representação decimal de um número 0 , d 1 d 2 d 3 … (onde o algarismo d i é um dos dúmeros 0 ,   1 ,   2 , … ,   9 ) é que

0 , d 1 d 2 d 3 … = d 1 10 + d 2 10 2 + d 3 10 3 + d 4 10 4 + …

Mostre que essa série converge.

Passo 1

Temos um número qualquer, que está representado em forma de série

0 , d 1 d 2 d 3 … = ∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Para provar a convergência desta série, vamos compará-la. Para achar a comparação correta, vamos pensar o seguinte, d n é um dos números 0 ,   1 ,   2 , … ,   9 , então podemos afirmar que d n ≤ 9 sempre, logo

d n 10 n ≤ 9 10 n

Passo 2

Agora basta provar a convergência de

∑ n = 1 ∞ 9 10 n

Essa é uma série geométrica, para ela ter a cara correta de uma geométrica basta manipular

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 10 ⋅ 1 10 n - 1

Então temos uma série geométrica com a = 9 / 10 e r = 1 / 10 , como r < 1 a série converge, logo, pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Também converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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