Enunciado

Encontre séries geométricas A = ∑ a n e B = ∑ b n que ilustrem o fato de que ∑ a n b n pode convergir sem que seja igual a AB.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

#partiudemonstração

Vamos considerar duas séries geométricas definidas por a n = b n = 1 2 n . Matematicamente descritas como ∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ b n   para todo n.

Nós sabemos que essas séries geométricas convergem para uma soma A = B = 2 sendo a 0 = 1   e r = 1 2 , então AB = 4.

Entretanto, observe que ∑ a n b n = ∑ 1 4 n descreve uma série geométrica com a 0 = 1   e r = 1 4 , e a soma s que é dada por s = 1 1 - 1 4 = 4 3 . Assim, temos que a série ∑ a n b n converge para um valor diferente de AB.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) n sen (1 // n)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(j = 1)^(oo) (- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) (5^k)/(3^k + 4^k)
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ 1 2 + sen ⁡ k
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n 2