Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n (ln n)^2)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/(n (ln n)^2) harr f (x) = (1)/(x (ln x)^2)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 2 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_2^(oo) f ( x ) d x = int_2^(oo) (d x)/(x (ln x)^2) = underset(t -> oo)(lim) int_2^t (d x)/(x (ln x)^2)

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = ln x :. d u = (d x)/(x) :

int (1)/(underset(u^2)(ubrace (ln x)^2)) * underset(d u)(ubrace (d x)/(x)) = int (d u)/(u^2) = (- 1)/(u) = (- 1)/(ln x)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_2^t (d x)/(x (ln x)^2) = underset(t -> oo)(lim) [(- 1)/(ln x)]_2^t = underset(t -> oo)(lim) ((- 1)/(ln t) + (1)/(ln 2)) = (1)/(ln 2)

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n (ln n)^2) é convergente

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