Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ D x   d A ,

onde D é a região delimitada do primeiro quadrante compreendida entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Devemos primeiro passar a integral para coordenadas polares lembrando que d A = r   d r   d θ e que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .

Plotando os dois círculos, vemos que a região de integração corresponde a região pintada:

Temos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 (primeiro quadrante) e r ≤ 2 . Por outro lado, a equação do círculo azul da

x 2 + y 2 = 2 x ⇒ r 2 = 2 r cos ⁡ θ ⇒ r = 2 cos ⁡ θ

Assim, a integral vai ser

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

Passo 2

Fazendo primeiro a integral em r :

∬ D x   d A = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ ⋅ 8 - 8 cos 3 ⁡ θ 3     d θ = 8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 1 - cos 3 ⁡ θ   d θ

Assim,

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ   d θ

Fazendo a integral,

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ⋅ 3 π 16 = 8 3 - π 2

Resposta

8 3 - π 2

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