Enunciado

43) Esboce a região de integração e mude a ordem de integração

∫ 0 1 ∫ 0 y f x , y d x d y

Passo 1

Falaaaiiii, vamo lá resolver essa questão?! Simbora! Queremos esboçar a região que estamos integrando, certo?! Então beleza, vamos analisar os intervalos de integração, pois nossa região é dada por eles!! Do enunciado:

∫ 0 1 ∫ 0 y f x , y d x d y

Sendo assim, nossa região D, será:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

Agora vamos interpretar isso

Passo 2

Pra começar, vamos ver o intervalo de x :

0 ≤ x ≤ y

Po galera, isso quer dizer que o x sai do eixo O y (onde x = 0 ) e toca o a reta y = x. Seria esse intervalo aqui ó:

Pro intervalo de y , temos:

0 ≤ y ≤ 1

O que nada mais é do que esse intervalo aqui:

A região D vai ser então a união desses dois azuiszinhos:

Passo 3

Pra fazer a mudança de ordem de integração temos que partir do mesmo D :

E trocar a ordem das setas, beleza? Bem, se antes tínhamos o x delimitado por um número e uma função ( 0 ≤ x ≤ y ), agora teremos o y delimitado. Note que pra gente escolher o intervalo podemos ver aqui que:

O y sempre sai da reta y = x e vai até a horizontal y = 1 . Sendo assim, o intervalo será:

x ≤ y ≤ 1

Por outro lado, o triângulo que é a região D está inteiramente definido entre dois intervalos de x , que são:

0 ≤ x ≤ 1

Então, invertendo a ordem de integração, temos:

D = x , y x ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Daí, nossa região será:

E a sua integral correspondente:

∫ 0 1 ∫ x 1 f x , y d y d x

Feshow!

Resposta

R e g i ã o   d e   I n t e g r a ç ã o :

∫ 0 1 ∫ 0 y f x , y d x d y

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y }

M u d a n d o   a   o r d e m :

∫ 0 1 ∫ x 1 f x , y d y d x

D = x , y x ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

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