Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n   n

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

Nesse exercício vamos analisar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n   n .

Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento.

  • Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente.
  • Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.

Temos que: ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ s e n 1 n n

A série que vamos usar para comparar é:

∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n

Primeiro, vamos entender o comportamento da função seno para esta série. Quando n = 1 , temos 0 < s e n ( 1 ) < 1 . À medida que n vai para o infinito, 1 n vai para 0 , então s e n 1 n também vai para 0 . Ou seja, a função seno não vai oscilar entre - 1 e 1 quando n → ∞ .

Passo 2

Desta forma, pelo Teste da Comparação:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n n 1 n n

Simplificando os termos, ficaríamos com:

= lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 n n ∙ n 1 n

= lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ ( 1 / n ) 1 / n

Sabemos que quando n → ∞ , sen ⁡ ( 1 / n ) 1 / n → 1 . Então, temos:

= lim n → ∞ ⁡ sen ⁡ 1 / n 1 / n

= l i m n → ∞ 1 = 1

Passo 3

Opa! Como a série ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 / n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 é uma p-série com p = 3 / 2 > 1 . Isso significa que se trata de uma série convergente.

Assim, pelo Teste da Comparação, já que lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1 e a ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 é convergente, a nossa série ∑ n = 1 ∞ s e n 1 n n também é convergente!

Resposta

A série ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( 1 / n ) n é convergente.

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