Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 2 n 0,85

Passo 1

Fala, galerinha? Tranquilo?

Bom, no geral para determinar a convergência ou divergência de uma série poderíamos usar o Teste da Integral. Porém, nesse caso, o que temos é uma série do tipo p-série:

∑ n = 1 ∞ 2 n 0,85

Olhando assim pode ser mais difícil de se concluir isso, mas calma que vamos manipular um pouco essa série para ficar no formato de série-p:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

A vantagem disso é que para a p-série (ou série-p), basta analisarmos o valor de p para entender se há convergência ou divergência. Viu como fica muuuuuito mais fácil que calcular integrais? Vamos lá, então!

Para a série-p, temos:

  • É convergente se p > 1
  • É divergente se p ≤ 1

Passo 2

Show de bola, galera...Estamos diante de uma p-série, certo? Vamos “tirar” nossa constante 2 do denominador, colocando ela multiplicando 1.

Basicamente temos:

∑ n = 1 ∞ 2 n 0,85 = 2 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n 0,85 ⏟ p-série com  p = 0,85

Como a nossa p-série tem um valor de p = 0,85 < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é divergente!

Bem tranquilo, né? Grande vantagem da série-p para nós!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 2 n 0,85   é  divergente

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