Enunciado

12- a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica.

r = 4 2 - 3 cos ⁡ θ

Passo 1

Fala meus decoradores de fórmula para a prova no dia seguinte! Tudo na paz e na esperança? Nem tanto? Relaxa cola aqui nessa questão rapidão!

E na página 689 da quinta edição desse livro vemos o teorema 6 que nos diz que uma equação polar pode ser escrita por:

r = e d 1 ± e   c o s   θ

Onde para e = 1 temos uma parábola, e < 1 nos dá uma elipse e e > 1 é uma hipérbole, isso para e > 0 .

Só que note que essa equação tem um denominador igual a 1 ± e d , então para vermos a equação do enunciado nós temos que ver esse termo numérico igual a 1, pois esse denominador é composto por um termo numérico e outra que tem uma função cosseno.

Para adequar a questão do enunciado a da fórmula acima nós teremos que dividir o numerador e o denominador por 2 . Logo:

r = 4 × 1 2 2 - 3 cos ⁡ θ × 1 2 = 4 2 2 2 - 3 2 cos ⁡ θ = 2 1 - 3 2 cos ⁡ θ

Agora comparando as duas equações nós teremos uma excentricidade igual a:

e d = 2

e = 3 2

E como e > 1 logo a equação dada é a de uma hipérbole. O sinal não importa muito para dizermos se temos uma parábola, uma hipérbole ou uma elipse.

Note que esse passo responde a letra a e a letra b .

Passo 2

Ok, falamos muito de e mas o que significa d ? Essa é a nossa reta diretora (bem parecida com a reta diretora da parábola) e tem uma equação de x = d para um denominador com uma função cosseno e y = d para um denominador com função seno. Isso é um translado da cônica no eixo x e no eixo y .

Como o numerador vale 2 logo o valor de d valerá:

2 = e d = 3 2 d

d = 4 3

Mas e o sinal no denominador, ele serve para alguma coisa? Sim! Se temos um sinal no denominador então a equação da reta diretora é negativa também

x = - 4 3

Isso nos diz que temos uma hipérbole horizontal. Por que essa é uma reta vertical. Isso nos responde a letra c .

Passo 3

Agora para desenhar a cônica devemos saber os vértices, as assíntotas e o centro dessa hipérbole.

E note que pela equação r = 2 1 - 3 2 cos ⁡ θ podemos dizer que o denominador será mínimo quando θ = π dando assim nosso vértice máximo (pois está orientado em relação a origem do plano cartesiano de um ângulo θ = π ) e o denominador será máximo com θ = 0 tendo assim o vértice mínimo, logo teremos como vértices:

m a x ⁡ ( r , θ ) = 2 1 - 3 2 cos ⁡ π , π = 4 5 , π

m i n ( r , θ ) = 2 1 - 3 2 cos ⁡ 0 , 0 = - 4,0

Pontos esses em coordenadas polares! Isso que é importante entender aqui.

Onde a conversão de um ponto em coordenada polar para um ponto em coordenada cartesiana é dada por:

P o l a r → c a r t e s i a n a

r , θ → r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ

Somando os dois vértices (transformando para cartesiano e dividindo por dois e depois passando para polar de novo) nós teremos um centro em:

C e n t r o = V é r t i c e 1 + V é r t i c e 2 2

c e n t r o = 4 5 cos ⁡ π , 4 5 s e n   π + - 4 cos ⁡ 0 , - 4 s e n   0 2

c e n t r o = - 12 5 , 0

Centro em coordenadas cartesianas.

Para encontrar as retas assíntotas nós devemos pensar em encontrar qual o ângulo θ cujo r tenderá a infinito, uma vez que nunca teremos um valor de ( r , θ ) que pertence a essa reta.

E para isso temos que fazer r se aproximar de ± ∞ (para encontrar as duas retas assíntotas) ao fazer 1 - 3 2 cos ⁡ θ tender a zero pela esquerda e pela direita. Da seguinte forma:

1 - 3 2 cos ⁡ θ = 0 + = 0 -

Ou seja o ângulo θ a partir do centro será de:

θ = ± cos - 1 ⁡ 2 3

E assim como temos para coordenada cartesiana a equação de uma reta sendo como:

t g   θ = x - x 0 y - y 0

Com x 0 e y 0   sendo pontos quaisquer dessa reta e θ a angulação da reta em relação ao eixo x , então:

m = t g   θ = x - x c e n t r o c o s θ y - y c e n t r o s e n   θ

Com θ qualquer e x c e n t r o , y c e n t r o as coordenadas cartesianas do centro da hipérbole e m é o coeficiente angular dessa reta.

Então as duas equações das assíntotas com θ serão:

y - y c e n t r o s e n θ   t g ± cos - 1 ⁡ 2 3 = x - x c e n t r o c o s θ

Gráfico:

Para vocês terem uma noção de como se plota isso em coordenadas polares nós fizemos da seguinte forma:

Onde 1.118 é

tan ⁡ cos - 1 ⁡ 2 3 = 1.118

Onde a tangente é para descobrir o coeficiente angular desse ângulo em radianos e todas as coordenadas polares foram passadas para cartesianas.

Resposta

a )   e = 3 2

b )   h i p é r b o l e

c ) x = - 4 3

d )   i m a g e m   d o   p a s s o   4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação polar na forma r cos ⁡ θ - θ 0 = r 0 para cada uma das retas nos Exercícios 49-52. y = - 5
Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74. r = 1 1 + cos ⁡ θ
Esboce os círculos nos Exercícios 53-56. Dê coordenadas polares para seus centros e identifique seus raios. r = 4 cos ⁡ θ
Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 57-64. Esboce cada círculo no plano coordenado e classifique-o com suas equações cartesianas e polares. x 2 + ( y - 5 ) 2 = 25
Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 57-64. Esboce cada círculo no plano coordenado e classifique-o com suas equações cartesianas e polares. x - 6 2 + y 2 = 36