Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.6 - Ex. 12
12- a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica.
Passo 1
Fala meus decoradores de fórmula para a prova no dia seguinte! Tudo na paz e na esperança? Nem tanto? Relaxa cola aqui nessa questão rapidão!
E na página 689 da quinta edição desse livro vemos o teorema 6 que nos diz que uma equação polar pode ser escrita por:
Onde para temos uma parábola, nos dá uma elipse e é uma hipérbole, isso para .
Só que note que essa equação tem um denominador igual a , então para vermos a equação do enunciado nós temos que ver esse termo numérico igual a 1, pois esse denominador é composto por um termo numérico e outra que tem uma função cosseno.
Para adequar a questão do enunciado a da fórmula acima nós teremos que dividir o numerador e o denominador por . Logo:
Agora comparando as duas equações nós teremos uma excentricidade igual a:
E como logo a equação dada é a de uma hipérbole. O sinal não importa muito para dizermos se temos uma parábola, uma hipérbole ou uma elipse.
Note que esse passo responde a letra e a letra .
Passo 2
Ok, falamos muito de mas o que significa ? Essa é a nossa reta diretora (bem parecida com a reta diretora da parábola) e tem uma equação de para um denominador com uma função cosseno e para um denominador com função seno. Isso é um translado da cônica no eixo e no eixo .
Como o numerador vale logo o valor de valerá:
Mas e o sinal no denominador, ele serve para alguma coisa? Sim! Se temos um sinal no denominador então a equação da reta diretora é negativa também
Isso nos diz que temos uma hipérbole horizontal. Por que essa é uma reta vertical. Isso nos responde a letra .
Passo 3
Agora para desenhar a cônica devemos saber os vértices, as assíntotas e o centro dessa hipérbole.
E note que pela equação podemos dizer que o denominador será mínimo quando dando assim nosso vértice máximo (pois está orientado em relação a origem do plano cartesiano de um ângulo ) e o denominador será máximo com tendo assim o vértice mínimo, logo teremos como vértices:
Pontos esses em coordenadas polares! Isso que é importante entender aqui.
Onde a conversão de um ponto em coordenada polar para um ponto em coordenada cartesiana é dada por:
Somando os dois vértices (transformando para cartesiano e dividindo por dois e depois passando para polar de novo) nós teremos um centro em:
Centro em coordenadas cartesianas.
Para encontrar as retas assíntotas nós devemos pensar em encontrar qual o ângulo cujo tenderá a infinito, uma vez que nunca teremos um valor de que pertence a essa reta.
E para isso temos que fazer se aproximar de (para encontrar as duas retas assíntotas) ao fazer tender a zero pela esquerda e pela direita. Da seguinte forma:
Ou seja o ângulo a partir do centro será de:
E assim como temos para coordenada cartesiana a equação de uma reta sendo como:
Com e sendo pontos quaisquer dessa reta e a angulação da reta em relação ao eixo , então:
Com qualquer e as coordenadas cartesianas do centro da hipérbole e é o coeficiente angular dessa reta.
Então as duas equações das assíntotas com serão:
Gráfico:
Para vocês terem uma noção de como se plota isso em coordenadas polares nós fizemos da seguinte forma:
Onde é
Onde a tangente é para descobrir o coeficiente angular desse ângulo em radianos e todas as coordenadas polares foram passadas para cartesianas.