Enunciado

Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

4 + 3 + 9 4 + 27 16 + …

Passo 1

Fala aíí!!! Nessa questão queremos:

  1. Determinar se a série geométrica é convergente ou divergente;
  2. Se for convergente, encontrar sua soma.

Então bora lá!!

Passo 2

O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica, certo? Nossa série é

4 + 3 + 9 4 + 27 16 + …

Você lembrar como encontramos a razão de PGs??

Calmaaa que eu te digo! Basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Vamos chamar de q a razão dessa PG. Assim,

q = a 2 a 1

Como o primeiro termo a 1 = 4   e o segundo termo a 2 = 4 . Substituindo os valores, temos:

q = 3 4

Beleza? Mas calculamos a razão por quê?

Uma PG é considerada convergente quando - 1 < q < 1 e é dita divergente quando não é convergente. Como q < 1 , temos uma série convergente!

Passo 3

Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:

S = a 1 1 - q

Substituindo os valores, temos:

S = 4 1 - 3 4 = 4 1 4

Portanto, a soma vale

S = 16

Resposta

A série é convergente e converge para 16 !

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