Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1

Passo 1

Como funcionam as séries telescópicas?

Elas acontecem geralmente quando temos um termo com uma substração, onde parte de um termo cancela com um próximo, sobrando parte dos primeiros termos e parte dos últimos.

Neste caso temos que nosso termo

a n = ln ⁡ n n + 1

Usando a propriedade do ln ⁡ ( a / b ) = ln ⁡ a - ln ⁡ b

a n = ln ⁡ ( n ) - ln ⁡ ( n + 1 )

Passo 2

Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o s n

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 2 + a n - 1 + a n

s n = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 4 + … + ln ⁡ n - 2 - ln ⁡ n - 1 + ln ⁡ n - 1 - ln ⁡ n + ( ln ⁡ n - ln ⁡ n + 1 )

Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos o primeiro ln ⁡ 1 e o ultimo - ln ⁡ ( n + 1 )

s n = ln ⁡ 1 - ln ⁡ ( n + 1 )

Como ln ⁡ 1 = 0

s n = - ln ⁡ ( n + 1 )

Passo 3

Para descobrir a soma, basta aplicar o limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ ( n + 1 ) = - ∞

Então a série diverge.

Resposta

Diverge.

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