Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n

Passo 1

Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma

∑ n = 0 ∞ a r n

Portanto temos uma série geométrica com a = 1 e r = 1 2 .

Passo 2

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o r . Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = 1 2 e sabemos que 1 2 < 1 então a série converge.

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Jogando a = 1 e r = 1 2

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n = 1 1 - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 2 2 - 1

Podemos ainda racionalizar, multiplicando por 2 + 1 2 + 1

2 2 - 1 ⋅ 2 + 1 2 + 1 = 2 + 2 2 - 1

Portanto

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n = 2 + 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n = 2 + 2

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