Enunciado

Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ n = 1 ∞ 5 π n

Passo 1

Hey! Tudo certinho?

O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica. Você lembra como encontramos a razão de PGs? Basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Antes de acharmos, vamos expandir esse somatório para enxergarmos melhor essa série:

5 π 0 + 5 π + 5 π 2 + 5 π 3 + …

Vamos chamar de q a razão dessa PG. Assim,

q = a 2 a 1

Substituindo os valores, temos:

q = 5 / π 2 5 / π = 1 π

Passo 2

Essa razão q   da PG que calculamos vai nos ajudar a entender se a série converge ou diverge!

Para determinar se a série é convergente ou divergente, observamos o valor absoluto de q . Uma PG é considerada convergente quando - 1 < q < 1 e é divergente quando não satisfaz essa condição.

Como

q = 1 π

E

1 π < 1

Podemos afirmar que a série é convergente!

Passo 3

Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:

S = a 1 1 - q

Substituindo os valores, temos:

S = 5 1 - 1 π = 5 π - 1 π

Portanto,

S = 5 π π - 1

Resposta

A série é convergente e converge para 5 π / ( π - 1 ) !

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