Enunciado

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ y 2 x 2 + y 2

Passo 1

De cara já podemos ver que f ( x , y ) não é continua no ponto ( 0,0 ) já que o denominador seria igual a zero.

Passo 2

Para sabermos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

f x . 0 = x 2 + sen 2 ⁡ 0 2 x 2 + 0 2 = x 2 2 x 2 = 1 2

, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

f x , x = x 2 + sen 2 ⁡ x 2 x 2 + x 2 = x 2 + sen 2 ⁡ x 3 x 2 = 1 3 + 1 3 sen 2 ⁡ x x 2

Logo, quando x → 0 , f x , x → 1 3 + 1 3 1 2 = 2 3

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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Seja f x ,y = 1 ,y ≥ x 41 ,y ≤ 00 ,d eo u t r af o r m a . Encontre cada um dos limites a seguir ou explique que o limite não existe. lim x , y → 0 ,1 ⁡ f x ,y lim x , y → 2 ,3 ⁡ f x ,y lim x , y → 0
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,y → 0 ,0 . f x ,y = x - y x + y
Sabendo que 1 - x 2 y 2 3t g - 1x y x y1 Você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1x y x y Justifique sua resposta.
Extensão contínua Seja: f ( x , y ) = s e nx - y x + y , x + y ≠ 0 0 , x , y = ( 0,0 ) F é continua na origem? Porque?
Considerando diferentes caminhos de aproximação, mostre que os limites nos Exercícios 15 e 16 não existem. lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x y y x ≠ 0