Determine a solução

b) x¨ + 4x˙ + 4x = 2t + 1

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

x ¨ + 4 x ˙ + 4 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 4 x ˙ + 4 x = 0 → λ 2 e λ t + 4 λ e λ t + 4 e λ t = e λ t λ 2 + 4 λ + 4 = 0

e λ t λ 2 + 4 λ + 4 = 0 → λ 2 + 4 λ + 4 = 0 → λ + 2 2 →   λ = - 2

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 =   λ 2 então podemos reescrever x h t como sendo:

x h t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 2 = λ 2

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x h t = A e - 2 t + B t e - 2 t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos um caso em que c ≠ 0   e   x p = P l t assim vamos escrever um P l t arbitrário com mesmo grau:

P l t = n + m t

Agora substituímos como se P l t = x

n + m t ¨ + 4 n + m t ˙ + 4 n + m t = 2 t + 1

n + m t ¨ = 0

n + m t ˙ = m

n + m t ¨ + 4 n + m t ˙ + 4 n + m t = 2 t + 1 → 0 + 4 m + 4 n + 4 m t = 2 t + 1

4 n + 4 m = 1   e   4 m t = 2 t → m = 1 2 → 4 n + 4 × 1 2 = 1 → 4 n = 1 - 2 → n = - 1 4

P l t = - 1 4 + 1 2 t

Passo 4

Substituindo:

x t = x h + x p → x t = A e - 2 t + B t e - 2 t - 1 4 + 1 2 t

Resposta

x t = A e - 2 t + B t e - 2 t - 1 4 + 1 2 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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