Determine a solução geral.

x¨ - 2x˙ = 5

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ - 2 x ˙ = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t - 2 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 - 2 r = 0

r 2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r 1 = 0

r 2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A   + B e 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 5 .

Temos então como entrada uma constante, que vamos chamar de polinômio de grau zero, para esse tipo de entrada, como não temos uma componente y na equação diferencial, vamos supor que a solução particular tem a cara de um polinômio de mesmo grau, multiplicado por t , ou seja, uma constante multiplicada por t

x p t = C t

Calculando as derivadas

x p ' t = C

x p ' ' t = 0

Substituindo então na equação

x ¨ - 2 x ˙ = 5

0 - 2 C = 5

C = - 5 2

E a solução particular é dada por

x p t = - 5 2 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A   + B e 2 t - 5 2 t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A   + B e 2 t - 5 2 t

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