Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + y ' - 2 y = x + s e n ( 2 x ) ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + y ' - 2 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + k A e k x - 2 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + k - 2 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 1 ) ± ( 1 ) 2 - 4.1 . - 2 2.1

k = - 1 ± 9 2 = - 1 ± 3 2 ∴ k 1 = 1 ,   k 2 = - 2

Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e x + c 2 e - 2 x

Beleza! Agora vamos partir para a solução particular!

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:

y p 1 x = A x + B

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p 1 ' x = A

y p 1 ' ' x = 0

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + y p ' - 2 y p = x

Agora substituindo y p 1 ,   y p ' e y p 1 ' ' na equação diferencial temos:

0 + A - 2 ( A x + B ) = x

Reorganizando os termos temos:

- 2 A x + ( A - 2 B ) = x

Assim:

A = - 1 2

E também:

A - 2 B = 0 ∴ B = - 1 / 4

E a primeira solução particular é:

y p 1 x = - 1 2 x - 1 4

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = s e n ( 2 x ) e também não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:

y p 2 x = A c o s 2 x + B s e n ( 2 x )

As derivadas vão ser:

y p ' x = - 2 A s e n 2 x + 2 A c o s ( 2 x )

y p ' ' x = - 4 A c o s 2 x - 4 A s e n ( 2 x )

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + y p ' - 2 y p = s e n ( 2 x )

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

- 4 A c o s 2 x - 4 A s e n 2 x + - 2 A s e n 2 x + 2 A c o s 2 x - 2 ( A c o s 2 x + B s e n ( 2 x ) ) = s e n ( 2 x )

Reorganizando os termos temos:

s e n ( 2 x ) - 4 B - 2 A - 2 B + c o s ⁡ ( 2 x ) ( - 4 A + 2 B - 2 A ) = s e n ( 2 x )

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

- 2 A - 6 B = 1 - 6 A + 2 B = 0

Multiplicando a segunda equação por 3 e somando as duas vamos ter:

- 20 A = 1 ∴ A = - 1 / 20

E substituindo na primeira temos o valor de B :

- 2 . - 1 20 - 6 B = 1 ∴ B = - 3 / 20

Daí tiramos os valores de A   e B :

A = - 1 20 ,       B = - 3 20

E a solução particular é:

y p 2 x = - 1 20 c o s 2 x - 3 20 s e n ( 2 x )

Passo 5

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e dos passos 3 e 4 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 e x + c 2 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 c o s 2 x - 3 20 s e n ( 2 x )

Passo 6

Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes c 1 e c 2 . As condições iniciais são:   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

A primeira é sobre a solução, então fazendo x = 0 em y ( x ) temos:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 - 1 2 0 - 1 4 - 1 20 c o s 0 - 3 20 s e n 0 = 1

c 1 + c 2 = 13 10 ∴ c 1 = 13 10 - c 2

A segunda condição é sobre a derivada. Então y ' ( x ) é:

y ' x = c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x - 1 2 + 2 20 s e n 2 x - 6 20 c o s ( 2 x )

E aplicando em x = 0 temos:

y ' 0 = c 1 e 0 - 2 c 2 e 0 - 1 2 + 2 20 s e n 0 - 6 20 c o s ( 0 )

c 1 - 2 c 2 = 4 5

Substituindo c 1 temos:

13 10 - c 2 - 2 c 2 = 4 5 ∴ c 2 = 1 6

E voltando para determinar c 1 :

c 1 = 13 10 - 1 6 = 68 60 = 34 30 = 17 15

Show! Finalmente temos a solução:

y x = 17 15 e x + 1 6 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 c o s 2 x - 3 20 s e n ( 2 x )

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = 17 15 e x + 1 6 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 c o s 2 x - 3 20 s e n ( 2 x )

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