Enunciado

Determine P - = x - ,   y - como no teorema do valor médio, sendo dados:

  1. f x , y = 2 x 2 + 3 y ,   P 0 = 2,3   e   P 1 = 1,1

Passo 1

Se ligue que a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né?

Não lembra quais são as hipóteses? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do R 2 , P 0 e P 1 dois pontos de A tais que o segmento P O P 1 esteja contido em A. Nestas condições, se f x é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto P - = x - ,   y - interno ao segmento P 1 P 0 ,   tal que:

f P 1 - f P 0 = ∇ f P - ⋅ (   P 1 - P 0 )

Então, precisamos definir um conjunto em que os pontos P 0 e P 1 esteja dentro e que seja aberto, como por exemplo   A =   x , y ∈       R 2   |   x > 0   e   y > 1 .

Além disso, man, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no R 2   inteiro, em particular, a função é diferenciável n conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos estivessem dentro, podemos usar o teorema, beleza?

Ou seja, existe um ponto

P - = x - ,   y -

Tal que

f 1,1 - f 2,3 = ∇ f P - ⋅   2,3 - 1,1 ⟹   f 2,3 - f 1,1 = f P - ⋅ ( 1,2 )  

⟹ 12 = ∇ f P - ⋅ (   1,2 )    

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima,

∇ f x , y = (   4 x ,   3 )

Daí, para P - = x - ,   y - ,   temos que ∇ f x - ,   y - = 4 x - ,   3 . Substituindo,

12 = ∇ f P - ⋅   1,2   ⟹   12 = 4 x - ,   3 ⋅   1,2  

Vamos resolver o lado direito da igualdade, certo? Temos que 4 x - ,   3 ⋅   1,2   é o produto interno canônico do R 2 e é resolvido da seguinte forma:

4 x - ,   3 ⋅   1,2 = 4 x - + 6  

Substituindo,

4 x - + 6 = 12  

Passo 3

O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai tá no segmento P 1 P 0 . Então ele satisfaz a equação da reta que passa pelos pontos com a restrição 1 < x - < 2 .

Sabendo que a equação da reta é dada por

y = y 0 + m ( x - x 0 )

Onde

m = y 1 -   y 0 x 1 - x 0

Substituindo os pontos,

m = 1 - 3 1 - 2 = - 2 - 1 = 2  

y - = 3 + 2 x - - 2 ⟹   y   - =     3 + 2 x - - 4   ⟹   y   - =   - 1 +   2 x -     ⟹   2   x - - y - = 1

Sendo assim, o ponto que desejamos deve satisfazer ao sistema

  4 x - + 6 = 12     2   x - - y - = 1   ,   c o m   1 < x - < 2  

Da primeira equação, temos que

x - = 3 2

Substituindo na segunda equação,

y - = 2

Logo, o ponto que temos que precisávamos encontrar é x - ,   y - = ( 3 2 ,   2 )  

Resposta

x - ,   y - = ( 3 2 ,   2 )

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