Enunciado

Suponha que para cada natural n , A n é um subconjunto aberto do R 2 . Seja B a reunião de todos os A n e C a interseção de todos os A n . Pergunta-se B é aberto? C é aberto? Justifique.

Passo 1

Primeiro, perceba que quando o problema diz reunião de todos os A n significa ⋃ n ∈ N   A n , certo móvei?

Vamos tratar primeiro da primeira pergunta 😉

SIIIIIIIIIM. Temos que A   é aberto. Sabe por que? Vamos provar!

Seja x ∈ ⋃ n ∈ N   A n .   Então, x ∈ n 0 para algum n 0 ∈ N . Como A n é aberto, para todo n ∈ N , então A n 0 é aberto. Daí, existe r > 0 tal que

B x ; r ⊆ A λ 0 ⊆ ⋃ n ∈ N   A n

Portanto, x ∈ i n t   ( ⋃ n ∈ N   A n ). Por fim, ⋃ n ∈ N   A n é aberto.

Beleza?!

Passo 2

Já a interseção... ;/ Ou seja, C não necessariamente é aberto, tome como exemplo,

A n = - 1 n , 1 n ,   ∀ n ∈ N .  

Os A n ' s são abertos , mas ⋂ n ∈ N   A n = { 0 } , mas { 0 } não aberto, pois, 0 ∉ i n t   0 = A n   já que o intervalo - ϵ ,   ϵ , contém números diferentes 0 ,   ∀ ϵ > 0 .  

Resposta

C é sempre aberto, mas B   não necessariamente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F dada por F t = ln ⁡ t , t , 1 - t 2 , t 2 .Determine o domínio de F .Calcule F 3 5 .
Sejam F → t = t , sen ⁡ t , 2 e G → t = 3 , t , t 2 . Calcule F → t ⋅ G → ( t )
Calcule r → t × x → ( t ) , onde r → t = ti → + 2j → + t 2k → e x → t = ti → - j → + k → .
Calcule u → t ⋅ v → ( t ) , onde u → t = sen ⁡ ti → + cos ⁡ tj → + tk → e v → t = sen ⁡ ti → + cos ⁡ t j → + k → .
Sejam F → t = t , sen ⁡ t , 2 e G → t = 3 , t , t 2 . Calcule e - tF → t