Enunciado

Considere a função

z = 8 + x 2 + y 2 4 y

a) Determine uma função F ( x , y , z ) , que não envolva radicais, tal que a função dada seja definida implicitamente pela equação F x , y , z = 0 .

b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto ( 2 ,   2 ,   1 ) .

Passo 1

O exercício fornece uma função z = f ( x , y ) e pede para acharmos uma função F ( x , y , z ) tal que f seja uma superfície de nível. Como foi pedido que essa função F não envolva radicais, o primeiro passo é elevar a equação à quarta:

z 4 = 8 + x 2 + y 2 y 4

Passando o y 4 multiplicando:

y 4 z 4 = 8 + x 2 + y 2 ⇒ y 4 z 4 - x 2 - y 2 - 8 = 0

Assim, vamos chamar

F x , y , z = y 4 z 4 - x 2 - y 2 - 8

Passo 2

Já no item (b) é pedida a equação do plano tangente no ponto ( 2 ,   2 ,   1 ) . Como o gradiente de uma função de três variáveis é ortogonal às superfícies de nível, tomando o gradiente de F nós teremos o vetor normal ao plano tangente:

∇ F x , y , z = - 2 x , 4 y 3 z 4 - 2 y , 4 y 4 z 3

Assim, no ponto ( 2 ,   2 ,   1 ) :

∇ F 2 ,   2 ,   1 = ( - 4 ,   28 ,   64 )

Por simplicidade, como só estamos interessados na direção do vetor, vamos considerar n → = ( - 1 ,   7 ,   16 ) como vetor normal.

Passo 3

A equação do plano é dada por

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 2 , y - 2 , z - 1 ⋅ - 1 ,   7 ,   16 = 0

Logo,

- x + 2 + 7 y - 14 + 16 z - 16 = 0

Portanto,

- x + 7 y + 16 z = 28

Resposta

F x , y , z = y 4 z 4 - x 2 - y 2 - 8

- x + 7 y + 16 z = 28

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