Enunciado

Determine P - = x - ,   y - como no teorema do valor médio, sendo dados:

b) f x , y = 2 x 2 - 3 y + x y ,   P 0 = 1,2   e   P 1 = 4,3

Passo 1

Se liga: a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né? Não lembra como ele é? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do R 2 , P 0 e P 1 dois pontos de A tais que o segmento P 0 P 1 esteja contido em A. Nestas condições, se f ( x ) é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto P - = x - , y - interno ao segmento P 0 P 1 ,   tal que:

f P 1 - f P 0 = ∇ f P - ⋅ (   P 1 - P 0 )

Então precisamos definir um conjunto que contenha os pontos P 0 e P 1 , e que seja aberto, como por exemplo A = x , y ∈ R 2 |   x > 0   e   y > 1 .

Além disso, meu parceiro, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no R 2   inteiro, e em particular, a função é diferenciável no conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos P 0 e P 1 estivessem dentro dele, podemos usar o teorema, beleza?

Ou seja, existe um ponto

P - = x - ,   y -

Tal que

f 4,3 - f 1,2 = ∇ f P - 4 , 3 - 1,2

f 4,3 - f 1,2 = f P - ⋅ ( 3,1 )

Os valores da função nesses pontos é:

f 4 ,   3 = 2 4 2 - 3 3 2 + 4.3 = 17

f 1 ,   2 = 2 1 2 - 3 2 2 + 1.2 = - 8

Assim,

17 - - 8 = f P - ⋅ 3,1

f P - ⋅ 3,1 = 2 5

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima.

f x , y = 2 x 2 - 3 y 2 + x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Encontrando as derivadas:

∇ f x , y = 4 x + y , - 6 y + x

Daí, para P - = x - ,   y   ̅ , temos que ∇ f x - ,   y - = 4 x - + y - , -   6 y - + x - . Substituindo,

4 x - + y - , -   6 y - + x - ⋅ 3 ,   1 = 2 5

Desenvolvendo o produto interno:

12 x - + y - , -   6 y - + 3 x - = 25

Passo 3

O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai estar no segmento P 1 P 0 . Então ele satisfaz a equação da reta que passa por esses pontos! A equação da reta é dada por

y = y 0 + m ( x - x 0 )

Onde

m = y 1 -   y 0 x 1 - x 0

Substituindo os pontos,

m = 3 - 2 4 - 1 = 1 3  

y - = 2 + 1 3 x - - 1 →   y - = 2 + 1 3 x - - 1 3

y - = 1 3 x - + 5 3

x - - 3 y - = - 5

Sendo assim, o ponto que desejamos deve satisfazer ao sistema

  15 x - - 5 y - = 2 5 x - - 3 y - = - 5  

Isolando x -

x - = - 5 + 3 y -

Substituindo na primeira,

15 - 5 + 3 y - - - 5 y - = 25

y - = 5 2

Portanto, o ponto que estamos procurando é:

P - = 5 2 , 5 2

Resposta

P - = 5 2 , 5 2

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Seja f x , y = x - y x + 2 y Calcule f ( 2 u + v , v - u )
Seja f x , y = x - y x + 2 y Determine o domínio.
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por x + y - 1 + z 2 = 0 ,z ≥ 0