Enunciado

Determine todos os valores de k para os quais os gráficos x 2 + y 2 = k e x + y = k interceptam-se.

Passo 1

Para isso, precisamos resolver o sistema em x e y formado por essas duas equações e analisar para quais valores de k a solução existe.

Passo 2

Substituindo a primeira na segunda, temos

x 2 + k - x 2 = k

x 2 + k 2 - 2 k ⋅ x + x 2 = k

2 x 2 - 2 k ⋅ x + k 2 - k = 0

x = k ± k 2 - 2 k 2 - k 2

Passo 3

Para existir uma solução para esse sistema, é necessário que

k 2 - 2 k 2 - k ≥ 0

- k 2 + 2 k ≥ 0

( a = 0 e b = 2 )

A inequação pede que o gráfico esteja acima ou sobre o eixo (maior ou igual a zero), então

0 ≤ k ≤ 2

Resposta

k ∈ 0 ; 2

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Calcule a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 9 x 2 + 16 y 2 = 100 .
A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos. A = 3,2 , B = 1,4 . A = 5,2 , B = 2,4 . A =
Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse. E : 16 x 2 + 25 y 2 = 400 E : x 2 + 9 y 2 = 9 E : 50 - y 2 - 2 x 2 = 0 E : 3 x 2 + 4 y 2 - 12 = 0 .
A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos. A = 3,2 , B = 1,4 . A = 5,2 , B = 2,4 . A =
As elipses E e E ' , de parâmetros geométricos a , b , c e a ' , b ' , c ' , têm centro O e focos em um dos eixos coordenados. Sendo a ' = k a e b ' = k b , prove que c ' = k c e que P = x , y pertenc