Enunciado

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Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo o produto é máximo

Passo 1

A partir do enunciado conseguimos montar duas equações:

P x , y , z = x y z

e

x + y + z = 100

em que z = 100 - ( x + y ) .

Assim,

f x , y , z = x y 100 - x + y = 100 x y - x 2 y - x y 2

f x = 100 y - 2 x y - y 2 = 0

f y = 100 x - x 2 - 2 x y = 0

Passo 2

Agora temos esse sisteminha que não é linear. Pra isso vamos fazer o seguinte na primeira equação

100 y - 2 x y - y 2 = 0

100 - 2 x y = y 2

Que nos dá o valores y = 0 ou y = 100 - 2 x . Como y = 0 zeraria o produto, podemos descartar essa solução!

Então agora basta jogar y = 100 - 2 x na segunda equação

100 x - x 2 - 2 x 100 - 2 x = 0

100 x - x 2 - 200 x + 4 x 2 = 0

3 x 2 - 100 x = 0

x 3 x - 100 = 0

De novo, nós podemos descartar x = 0 que zeraria o nosso produto, então a nossa solução será

3 x - 100 = 0 → x = 100 3

E isso faz com que y seja

y = 100 - 2 x = 100 - 2 100 3 = 300 - 200 3

y = 100 3

E z é dado por

z = 100 - 100 3 + 100 3 = 300 - 100 - 100 3

z = 100 3

Emtão o nosso ponto crítico é

100 3 , 100 3 , 100 3

Passo 3

Agora vamos ver se isso realmente maximiza (não precisa calcular, mas já que estamos aqui!) o produto x y z

Pra isso vamos olhar D . As derivadas de segunda ordem são:

f x x =   - 2 y

f y y =   - 2 x

f x y = 100 - 2 x - 2 y

No ponto 100 3 , 100 3 , 100 3

f x x = - 2 100 3 = - 200 3

f y y = - 2 100 3 = - 200 3

f x y = 100 - 2 100 3 - 2 100 3 = - 100 3

Assim

D = f x x f y y - f x y 2 = - 200 3 - 200 3 - - 100 3 2 = 40000 9 - 10000 9 = 30000 9 > 0

D > 0 e   f x x < 0 .

Assim, 100 3 , 100 3 , 100 3 é um ponto de máximo.

Resposta

100 3 , 100 3 , 100 3 é um ponto de máximo.

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