Enunciado

Verdadeiro/Falso

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta

33) Uma função injetora é invertível.

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Tão nos perguntando se uma função injetora é invertível. Bem, quando a gente inverte uma função, nós fazemos isso:

Logo:

  • Se A era domínio de f x , então, ao invertermos, vira imagem de f - 1 x
  • Se B era imagem de f x , então, ao invertermos, vira domínio de f - 1 x

Bem, uma função injetora é aquela que cada conjunto x , y possui uma única associação possível. Ou seja, não tem como dois x diferentes darem o mesmo y como está acontecendo abaixo mas não acima:

Afinal, como eu iria inverter esse cara acima? Quando eu fosse voltar de B pra A , pra onde eu iria?

Então ok, já sabemos que a função precisa ser injetora pra ser invertível. Porém será que isso é o suficiente?

Passo 2

Uma função pode ser, além de injetora, sobrejetora, certo? Isso significa que contradomínio e imagem coincidem, caso ela seja também, o que é o caso dessa imagem que usamos no Passo 1:

Então aqui, a função é bijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Mas e se f fosse injetora, mas não sobrejetora? Teríamos algo como:

Se olharmos a função f como uma máquina que transforma x em y , onde:

  • A Domínio D de f
  • B Contradomínio C D de f
  • Teríamos:

    • Caso 1) Existir um elemento do D que não associa a nenhum do C D É como se a máquina dissesse que você pode inserir algum elemento de A , aí você faz isso e ela não te devolve nada. Tipo aquelas moedas que ficam perdidas no fliperama hahaha. Não ta certo isso né?
    • Caso 2) Existir um elemento do C D que não associa a nenhum do D É como se a máquina dissesse pra você que ela é incapaz de produzir esse elemento de B , mas admitisse sua existência. É esperado que ao colocar uma moeda no fliperama você não receba um sorvete, certo?

    Bem, se a gente olhar pra imagem acima, vemos que o caso 1 não acontece, mas o caso 2 acontece, o que está de boas! Maaaaas, ao invertermos esse f :

    Onde, aqui:

  • A Contradomínio C D de f - 1
  • B Domínio D de f - 1

E olha só! O caso 1 passa a acontecer agora, e o caso 2 não! Como a situação 1 não pode acontecer pra função nenhuma, se ele acontece, não temos uma função. Em resumo: uma função f x precisa ser sobrejetora pra que f - 1 x possa existir. Como o enunciado não fala nada sobre ser sobrejetora também, então é falsa a afirmação.

Resposta

Falsa

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