Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 47
(a) Determine o valor máximo de
dado que são números positivos e , onde é uma constante.
(b) Deduza da parte (a) que, se são números positivos, então
Essa desigualdade diz que a média geométrica de números não pode ser maior que a média aritmética deles. Sob que circunstâncias as duas médias são iguais?
Passo 1
(a) Galera, queremos maximizar a função restrita a . Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Então ficamos com equações:
Passo 2
Se igualarmos as primeiras equações, obtemos:
Note que , pois caso contrário, não poderíamos ter para todo . Então devemos ter:
Usando esse resultado na equação , temos:
Então o único valor extremo, e portanto, o valor máximo que procuramos, é:
(Não há valor mínimo porque podemos aproximar o valor de o quanto quisermos de com valores pequenos de , mas nunca chegará a pois temos para todo , e portanto sempre teremos .)
Passo 3
(b) No item anterior descobrimos que é o valor máximo de , então temos:
Mas e , ou seja:
Também do item anterior sabemos que a igualdade ocorre quando
Resposta
(a)
(b) Igualdade: