Enunciado

(a) Determine o valor máximo de

f x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x 1 x 2 … x n n

dado que x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n são números positivos e x 1 + x 2 + … + x n = c , onde c é uma constante.

(b) Deduza da parte (a) que, se x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n são números positivos, então

x 1 x 2 … x n n ≤   x 1 + x 2 + … + x n n

Essa desigualdade diz que a média geométrica de n números não pode ser maior que a média aritmética deles. Sob que circunstâncias as duas médias são iguais?

Passo 1

(a) Galera, queremos maximizar a função f x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x 1 x 2 … x n n     restrita a g x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x 1 + x 2 + … + x n = c . Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

x 2 … x n n 1 n x 1 1 n - 1   ,   x 1 x 3 … x n n 1 n x 2 1 n - 1   ,   …   ,   x 1 x 2 … x n - 1 n 1 n x n 1 n - 1 = λ 1 ,   1 ,   … ,   1

Então ficamos com n + 1 equações:

x 1 x 2 … x n n = n λ x 1                                                                                                                         ( 1 )

x 1 x 2 … x n n = n λ x 2                                                                                                                         ( 2 )

…                                                                                                                                                               ( … )

x 1 x 2 … x n n = n λ x n                                                                                                                         ( n )

x 1 + x 2 + … + x n = c                                                                                                         n + 1

Passo 2

Se igualarmos as n primeiras equações, obtemos:

n λ x 1 = n λ x 2 = … = n λ x n

Note que λ ≠ 0 , pois caso contrário, não poderíamos ter x i > 0 para todo i . Então devemos ter:

x 1 = x 2 = … = x n

Usando esse resultado na equação n + 1 , temos:

x 1 + x 1 + … + x 1 = c

n x 1 = c

x 1 = x 2 = … = x n = c n

Então o único valor extremo, e portanto, o valor máximo que procuramos, é:

f c n , c n ,   … , c n = c n c n … c n n = c n

(Não há valor mínimo porque podemos aproximar o valor de f o quanto quisermos de 0 com valores pequenos de x i , mas nunca chegará a 0 pois temos x i > 0 para todo i , e portanto sempre teremos f > 0 .)

Passo 3

(b) No item anterior descobrimos que c n é o valor máximo de f , então temos:

f x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n ≤ c n

Mas f x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x 1 x 2 … x n n e x 1 + x 2 + … + x n = c , ou seja:

x 1 x 2 … x n n ≤   x 1 + x 2 + … + x n n

Também do item anterior sabemos que a igualdade ocorre quando

x 1 = x 2 = … = x n = c n

Resposta

(a) c n

(b) Igualdade: x 1 = x 2 = … = x n = c n

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