Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 48

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm³ que tenha a área de sua superfície mínima.

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é dado pela função V = x y z , que é 1000   c m 3

E a área é dada por f x , y , z = 2 x y + 2 x z + 2 y z (são duas faces de cada tipo)

Nós queremos então o mínimo de f com a restrição de que V = x y z = 1000 .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

2 y + 2 z ,   2 x + 2 z ,   2 x + 2 y = λ y z ,   x z ,   x y

2 y + 2 z = λ y z

2 x + 2 z = λ x z

2 x + 2 y = λ x y

Vamos isolar o λ ...

λ = 2 y + 2 z y z = 2 x + 2 z x z = 2 x + 2 y x y

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero. Então a gente faz:

y z 2 x + 2 z = x z 2 y + 2 z

2 x y + 2 z y = 2 y x + 2 z x

2 z y = 2 z x

y = x

Da mesma forma com as outras duas, a gente chega que y = z , então x = y = z .

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

x x x = 1000

x 3 = 1000

x = 10

As dimensões então são x = y = z = 10   c m .

Resposta

x = y = z = 10   c m

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