Enunciado

Determine os valores extremos de f   sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = x + y + z ,     x 2 + z 2 = 2 ,       x + y = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

No nosso caso aqui temos:

1,1 , 1 = λ 2 x , 0,2 z + μ ( 1,1 , 0 )

Beleza, daqui a gente tira que:

1 = λ 2 x + μ

1 = μ

1 = λ 2 z

E precisamos que

g = x 2 + z 2 = 2 ,  

h = x + y = 1

Já sabemos que o μ = 1 ...

Passo 2

1 = λ 2 x + 1 → λ 2 x = 0 → x = 0 2 λ

1 = λ 2 z → z = 1 2 λ

Substituindo em x 2 + z 2 = 2 temos:

0 2 λ 2 + 1 2 λ 2 = 2

0 + 1 4 λ 2 = 2

8 λ 2 = 1

λ = ± 1 8

λ =   ± 1 2 2  

Então se λ = - 1 2 2 , temos: x = 0 ,   z = - 2   e   y = 1

E se λ = 1 2 2 , temos x = 0 ,     z = 2   e   y = 1

Passo 3

Vamos testar os pontos na função agora:

0,1 , - 2 ,   0,1 , 2

f 0,1 , - 2 = 0 + 1 - 2 = 1 - 2

f 0,1 , 2 = 1 + 2

Ou seja, o valor máximo é 1 + 2 e o valor mínimo é 1 - 2 .

Resposta

1 - 2     e     1 + 2  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y = 3 x + y ;x 2 + y 2 = 10
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = y z + x y ;x y = 1 , y 2 + z 2 = 1
14.28. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 40
14.27. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 39
14.3. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s) f x , y = x 2 - y 2 ;x 2 + y 2 = 1