Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = x 2 - y 2 ;   x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

2 x ,   - 2 y = λ ( 2 x , 2 y )

Beleza, daqui a gente tira que:

2 x = λ 2 x

- 2 y = λ 2 y

E precisamos que

x 2 + y 2 = 1

A gente pode ter λ = 1 ou λ = - 1 aqui.

Se λ = 1 , temos que y = 0 e daí , x = ± 1 .

Se λ = - 1 , temos x = 0 e y = ± 1

Passo 2

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 1,0 ,   1,0 ,   0 , - 1 ,   ( 0,1 )

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 1,0 = 1
  • f 1,0 = 1
  • f 0 , - 1 =   - 1
  • f 0,1 = - 1

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - 1 , e o valor máximo é 1 .

Resposta

- 1   e   1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 12
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = 2 x + 2 y + z ; x 2 + y 2 + z 2 = 9
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x + 2 y ;x + y + z = 1 , y 2 + z 2 = 4