Determine o valor médio de f(x) = mx + b em [-1,1] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

Assim, temos:

f c = 1 1 - ( - 1 )   ∫ 1 - 1 m x + b d x = 1 2 ∫ 1 - 1 m x   d x + 1 2 ∫ 1 - 1 b   d x

Lembre-se da propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Passo 2

Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Logo:

1 2 ∫ 1 - 1 m x   d x + 1 2 ∫ 1 - 1 b   d x = 1 2 m x 2 2 - 1 1 + 1 2 b x - 1 1 =  

1 2 m 2 - m 2 + 1 2 - b - b = 1 2 - 2 b =   - b

Resposta

- b

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