Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π 4   ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + 7 t g x 2 3     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 π 4   ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + 7 t g x 2 3     d x

u = t g   ( x )   d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 0 π 4   ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + 7 t g x 2 3     d x = ∫ 0 π 4 1 1 + 7 u 2 3 d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = 1 + 7 u

d v = 7   d u ⇒ d v 7 =   d u

∫ 0 π 4 1 1 + 7 u 2 3 d u = ∫ 0 π 4 1 7 v 2 3 d v = 1 7 ∫ 0 π 4 v - 2 3   d v

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

1 7 ∫ 0 π 4 v - 2 3   d v = 1 7 v 1 3 1 3 π 4 0

Passo 5

Substituindo u e v pelas funções que atribuímos respectivamente, temos:

1 7 v 1 3 1 3 π 4 0 = 1 7 × 3   1 + 7 u 3   π 4 0 = 3 7 1 + 7 t g x 3 π 4 0

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração .Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo, temos que:

3 7 1 + 7 t g x 3 π 4 0 =   3 7 1 + 7 t g π 4 3 - 1 + 7 t g 0 3   =

= 3 7 1 + 7 3 - 1 3 = 3 7 2 - 1 = 3 7

Resposta

3 7

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