Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 16
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...
Temos a interseção de um plano ) com um cilindro ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que admite extremos absolutos sujeita às restrições!
Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como
Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:
Os gradientes são:
Assim,
Podemos escrever essa equação como
Passo 2
Da segunda equação, tiramos
Todavia, como a equação deve ser satisfeita (uma das restrições), . Assim, temos que . Assim, as demais equações do sistema são reescitas como:
Então temos que
Que nos da
Colocando isso na nossa equação temos
Que resulta em
Passo 3
Agora que temos , podemos encontrar e
Agora para achar vamos substituir os valores e encontrar que
Desta forma, os candidatos a extremos serão dois:
Passo 4
Sabendo que , calculamos: