Enunciado

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = 3 x - y - 3 z ;                           x + y - z = 0 ,             x 2 + 2 z 2 = 1

Passo 1

Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de f sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...

Temos a interseção de um plano ( x + y - z = 0 ) com um cilindro ( x 2 + 2 z 2 = 1 ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como f é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que f admite extremos absolutos sujeita às restrições!

Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como

g x , y , z = x + y - z = 0

h x , y , z = x 2 + 2 z 2 = 1

Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:

∇ f = λ   ∇ g + μ ∇ h

Os gradientes são:

∇ f x , y , z = ( 3 , - 1 , - 3 )

∇ g x , y , z = ( 1,1 , - 1 )

∇ h x , y , z = ( 2 x , 0,4 z )

Assim,

( 3 , - 1 , - 3 ) = λ   ( 1,1 , - 1 ) + μ   ( 2 x , 0,4 z )

Podemos escrever essa equação como

3 = λ + 2 μ x - 1 = λ - 3 = - λ + 4 μ z

Passo 2

Da segunda equação, tiramos

λ = - 1

Todavia, como a equação x y = 1 deve ser satisfeita (uma das restrições), y ≠ 0 . Assim, temos que λ = 1 . Assim, as demais equações do sistema são reescitas como:

2 x μ = 4 4 z μ = - 4

Então temos que

μ z = - 1

μ x = 2

Que nos da

z = - 1 μ

x = 2 μ

Colocando isso na nossa equação h ( x , y , z ) temos

4 μ 2 + 2 μ 2 = 1

Que resulta em

μ = ± 6

Passo 3

Agora que temos μ , podemos encontrar x e z

x = ± 2 6 = ± 6 3

z = ∓ 1 6 = ∓ 6 6

Agora para achar y ,   vamos substituir os valores e encontrar que

y = ∓ 3 6 = ∓ 6 2

Desta forma, os candidatos a extremos serão dois:

6 3 , - 6 2 , - 6 6     e     - 6 3 , 6 2 , 6 6

Passo 4

Sabendo que f x , y , z = 3 x - y - 3 z , calculamos:

f 6 3 , - 6 2 , - 6 6 = 2 6

f   - 6 3 , 6 2 , 6 6 = - 2 6

Resposta

f   - 6 3 , 6 2 , 6 6 = - 2 6     →     m í n i m o

f 6 3 , - 6 2 , - 6 6 = 2 6 →         m á x i m o

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