Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .

f x , y = x + y - x y , D é a região triangular fechada com vértices ( 0 ,   0 ) , ( 0 ,   2 ) e ( 4 ,   0 ) .

Passo 1

O problema pede para encontrarmos os extremos absolutos de f no conjunto D . Como f é contínua e D é fechado e limitado, o teorema do valor extremo garante que a função tem máximo e mínimo global nesse conjunto!

Os candidatos a extremos globais serão os pontos críticos de f no interior de D junto com os valores extremos de f na fronteira de D .

Neste caso, D é o triangulo desenhado a seguir:

A fronteira é dividida em três partes:

a : y = 2 - x 2 ,       x ∈ [ 0 ,   4 ]

b : x = 0 ,     y ∈ [ 0 ,   2 ]

c : y = 0 ,           x ∈ [ 0 ,   4 ]

Vamos encontrar os pontos críticos de f :

f x = 1 - y = 0 ⇒ y = 1

f y = 1 - x = 0 ⇒ x = 1

Assim, o único ponto crítico de f é ( 1 ,   1 ) . Note que esse ponto está no interior de D . Ele é um dos candidatos a extremos absoluto!

Passo 2

Agora vamos olhar para a fronteira de D . Primeiro para ( a ) , em que y = 2 - x 2 . Substituindo essa relação na expressão para f ( x , y ) , obtemos uma função de uma variável apenas:

g x = f x ,   2 - x 2 = x + 2 - x 2 - x 2 - x 2

Assim,

g x = x 2 2 - 3 x 2 + 2

Sabemos que g está restrita ao intervalo x ∈ [ 0 ,   4 ] . Um possível candidato a extremo dessa função é obtido fazendo g ' x = 0 :

x - 3 2 = 0 ⇒ x = 3 2

Assim, um novo candidato a extremo de f é o ponto 3 2 , 5 4 .

Na parte ( b ) , x = 0 , de modo que

g y = f 0 ,   y = y

Como g ' y = 1 ≠ 0 , não adianta procurara ponto crítico aqui! O mesmo vai ocorrer na fronteira ( c ) pois f x ,   0 = x .

Já temos então dois candidatos a extremos absolutos de f . Mas ainda falta considerar os extremos das fronteiras: as pontas do triângulo! Assim, todos os candidatos a extremos globais são:

1 ,   1 ,     3 2 , 5 4 ,               0 ,   0 ,               4 ,   0               e                 ( 0 ,   2 )

Passo 3

O que temos que fazer agora é avaliar o valor da função em cada um desses pontos:

f 1 ,   1 = 1

f 3 2 , 5 4 = 3 2 + 5 4 - 15 8 = 7 8

f 0 ,   0 = 0

f 4 ,   0 = 4

f 0 ,   2 = 2

Desta forma, o mínimo absoluto ocorre em 0 , 0 enquanto o máximo ocorre em ( 4 ,   0 ) .

Resposta

f 0 , 0 = 0       →           m í n i m o   a b s o l u t o

f 4 ,   0 = 4       →         m á x i m o   a b s o l u t o

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