Enunciado

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados.

Passo 1

Os momentos de inércia são dados por

I x = ∭ E y 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I y = ∭ E x 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Como a densidade ρ = k vamos calcular os momentos

I x = k ∭ E y 2 + z 2   d V = k ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2 d x d y d z

= k L ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2   d y d z = k L ∫ 0 L L 3 3 + L z 2   d z

= k L L 3 3 L + L L 3 3 = k L 2 L 4 3

I x = k 2 L 5 3

Por simetria temos que

I x = I y = I z = k 2 L 5 3

Resposta

I x = I y = I z = k 2 L 5 3

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