Enunciado

Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 40 da seção 14.7 .

Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Na seção 14.7 resolvemos o problema 40 isolando z na equação do plano e substituindo na função da distância. Agora resolveremos o mesmo problema porém usando os multiplicadores de Lagrange!

Queremos achar um ponto ( x ,   y ,   z ) cuja distância até ( 0 ,   1 ,   1 ) seja mínima. Assim, queremos minizmizar a função

d 2 = f x , y , z = x 2 + y - 1 2 + z - 1 2

Todavia, esse ponto deve estar no plano x - 2 y + 3 z = 6 , de modo que queremos minimizar f sujeita à restrição

g x , y , z = x - 2 y + 3 z - 6 = 0

Assim, os candidatos a solução do problema são dados por

∇ f = λ   ∇ g

Passo 2

Tomando os gradientes:

∇ f = 2 x ,   2 y - 1 ,   2 ( z - 1 )

∇ g = ( 1 ,   - 2 ,   3 )

Assim, a equação fica

x ,   y - 1 ,   z - 1 = λ   ( 1 ,   - 2 ,   3 )

Portanto,

x = λ y - 1 = - 2 λ z - 1 = 3 λ ⇒ x = λ y = 1 - 2 λ z = 1 + 3 λ

Substituindo na equação do plano:

x - 2 y + 3 z = 6 ⇒ λ - 2 + 4 λ + 3 + 9 λ = 6 ⇒ 14 λ = 5 ⇒ λ = 5 14

Assim, obtemos

x = 5 14 ,       y - 1 = - 10 14           e         z - 1 = 15 14

Como só obtemos um candidato a mínimo e sabemos que pela natureza do problema esse mínimo existe, esse ponto é a solução do problema!

Portanto, o ponto pedido é

5 14 , 2 7 , 29 14

Resposta

5 14 , 2 7 , 29 14

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Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (
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