Enunciado

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Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e inclua suas coordenadas.

Passo 1

Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos, podemos fazer a derivada da função dada e igualar este resultado a zero (encontrar ponto(s) crítico(s)). Fazendo esse procedimento, temos que:

g ' x = 1 2 4 - x 2 -   1 2 ( - 2 x ) = 0

x = - 2           ,           x = 0           o u           x = 2

Como x = 2 não está contigo no domínio de g ( x ) não é um ponto crítico. O resultado da primeira derivada de g ( x ) , depois que igualada a zero, indica que zero e -2 são pontos críticos e, portanto, iremos analisar estes pontos.

Para x < - 2 , g ' ( x ) não existe em - 2 ≤ x ≤ 1 ;

Para x > - 2 , g ' ( x ) é positivo em - 2 ≤ x ≤ 1 ;

Para x < 0 , g ' ( x ) é positivo em - 2 ≤ x ≤ 1 ;

Para x > 0 , g ' ( x ) é negativo em - 2 ≤ x ≤ 1 .

Logo, pode-se concluir que x = 0 é um ponto de máximo local e não conseguimos afirmar nada em relação à x = - 2 .

Assim, caso existam outros extremos absolutos, eles serão determinados através do esboço do gráfico da função.

Passo 2

Fazendo o esboço do gráfico da função é possível tirar algumas conclusões sobre a função e, também, verificar se existem extremos absolutos e onde eles existem. Nesse caso, o intervalo é fechado, portanto podemos verificar os pontos extremos desse intervalo.

x = 1 x = 0 x = - 2

Passo 3

Logo, para saber as coordenadas de cada ponto em que existe um extremo absoluto temos:

- 2 ,   0                     ,                     ( 1 ,   3 )                     e                     ( 0 ,   2 )

Resposta

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