Enunciado

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a

a = 4 , 2 , 0 ,     b = 1 , 1 , 1

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição do vetor projeção. Relembrando, temos:

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

Logo, precisamos calcular a norma do vetor a , obter o produto interno entre os vetores a e b e substituir na fórmula acima!

Com isto, obteremos o vetor projeção. Já o valor da projeção escalar será obtido ao obtermos o módulo deste vetor. Portanto, vamos aos cálculos!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo do vetor a . Desta forma,

a = 4 2 + 2 2 + 0 2

a = 20

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 4,2 , 0 ⋅ 1 , 1 , 1

a ⋅ b = 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1

a ⋅ b = 4 + 2 + 0 = 6

Passo 3

Agora que obtemos todas as informações necessárias, vamos determinar o vetor projeção de b em a . Para isto, vamos substituir os valores encontrados na fórmula do Passo 1. Logo,

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

p r o j a b = 6 20 2 ⋅ 4,2 , 0

p r o j a b = 3 10 ⋅ 4,2 , 0 = 6 5 , 3 5 , 0

Passo 4

Pronto! Agora que obtivemos o vetor projeção, vamos calcular a sua norma!

c o m p a b = p r o j a b = 6 5 2 + 3 5 2 + 0 2

c o m p a b = 45 25 = 3 5 5

Resposta

p r o j a b = 6 5 , 3 5 , 0

c o m p a b = 3 5 5

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