Enunciado

Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0   e   y = 1 .

Passo 1

Galera, se está limitado pelo plano z = 0 a gente não precisa se preocupar com a coordenada z , só quer dizer que ele está na parte positiva de z . A gente usa uma integral dupla então da função da superfície na região:

R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 1 }

Aí a gente monta a integral:

∫ 0 1 ∫ - 1 1 1 + x 2 y e y d x d y

Passo 2

Beleza, vamos começar integrando em x :

∫ 0 1 x + x 3 3 y e y - 1 1   d y

∫ 0 1 1 + 1 3 y e y - - 1 - 1 3 y e y d y

∫ 0 1 2 + 2 3 y e y d y

Show! Agora é só integrar em y e pronto!

Passo 3

Em y ...

2 y + 2 3 y e y - e y 0 1

= 2 + 2 3 1 e 1 - e - ( 0 + 2 3 0 - e 0

= 2 + 0 + 2 3

= 8 3

Esse é o volume procurado!!

Resposta

8 3

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Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1 .
Determine a área da superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices 0,0 , 4,0 , 0,2 e 4,2 .
Determine a área da superfície.A superfície z = 2 3 ( x 3 / 2 + y 3 / 2 ) , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .