Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R ((x y^2)/(x^2 + 1)) d A ; R = {(x , y)| 0 <= x <= 1 ; - 3 <= y <= 3 }

Passo 1

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

int_0^1 int_(- 3)^3 ((x y^2)/(x^2 + 1)) d y d x

Vamos separar x de y pra não confundir as integrais...

int_0^1 (x)/(x^2 + 1) d x int_(- 3)^3 y^2 d y

Beleza, é só a gente fazer cada uma e multiplicar no final.

Passo 2

Vamos na de x primeiro:

int_0^1 (x)/(x^2 + 1) d x

= [(1)/(2) ln (x^2 + 1)]_0^1

= (1)/(2) ln (1 + 1) - (1)/(2) ( ln 1 )

= (1)/(2) ln 2

Passo 3

Vamos pra de y ...

int_(- 3)^3 y^2 d y

[(y^3)/(3)]_(- 3)^3 = (27)/(3) - (- (27)/(3)) = 18

Beleza, só multiplicar as duas agora:

int_0^1 int_(- 3)^3 ((x y^2)/(x^2 + 1)) d y d x = (1)/(2) ln 2 (18)

= 9 ln 2

Pronto!!

Resposta

9 ln 2

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2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:i) ∫ 1 2 ∫ 0 x y l nx d yd x
Calcular ∬ r f x , yd x d y , onde:e) f x , y = 1 x + y ; R é o quadrado: 1 ≤ x ≤ 2 ; 1 ≤ y ≤ 2 .
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:h) ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x y d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:b) ∫ 0 2 ∫ - y y x y 2 + y d xd y
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:k) ∫ 0 1 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ x d yd x