Enunciado

Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .

Passo 1

Queremos determinar o volume de um sólido utilizando o sistema de coordenadas esféricas. Portanto, temos de resolver a seguinte integral:

∭ V d V = ∭ V ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Nosso trabalho é descrever os limites de integração. Respeitando a relação de estar acima de um cone a abaixo de uma esfera, temos:

0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π / 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto, nossa integral é:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 2

Agora, nosso trabalho é calcular a integral definida no final do Passo 1. Sendo assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ρ 3 3 0 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 64 cos 3 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ 3 d ϕ d θ

64 3 ⋅ ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 3 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = 64 3 ⋅ ∫ 0 2 π - cos 4 ⁡ ϕ 4 0 π / 3 d θ

64 3 ⋅ ∫ 0 2 π - cos 4 ⁡ ϕ 4 0 π 3 d θ = 64 3 ⋅ ∫ 0 2 π - 1 64 + 1 4 d θ

64 3 ⋅ ∫ 0 2 π 1 5 64 d θ = 64 3 ⋅ 15 64 ⋅ 2 π = 10 π

Portanto,

V o l u m e = 10 π

Resposta

V o l u m e = 10 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y
Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o
Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a ( a0 ) , se S tem densidade constante K.
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 d x d y d z Onde W é a região dada por: i )W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 i i )
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x d x d y d z Onde W = x ,y ,z ∈ R 3|4 ≤ x 2 + y - 1 2 + z 2 ≤ 9 ,x ≥ 0 ,z ≥ 0