Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d z d y d x

Passo 1

Vamos lá! Se queremos mudar para um sistema de coordenadas cilíndricas, precisamos transformar as nossas variáveis x , y , z em r , θ , z . Esta mudança será feita através da seguinte mudança:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Se nós fizermos esta mudança, vamos obter uma integral da seguinte forma:

∬ E ∫ r 2 2 - r 2 r 3 d z d A

A grande questão é: quem é essa região E ? Ela é a projeção do nosso sólido no plano x y . Além disto, ela está relacionada aos limites das duas últimas integrais que precisamos transformar.

Esta é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem. Em coordenadas polares ela consiste em

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Sendo assim, teremos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r 3 ⋅ r ⋅ d z d r d θ

Perceba que apareceu mais um r no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!

Passo 2

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r 4 d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 ⋅ z r 2 2 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 4 - 2 r 6 d r d θ

∫ 0 2 π 2 r 5 5 - 2 r 7 7 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 2 5 - 2 7 d θ

∫ 0 2 π 4 35 d θ = 4 35 ⋅ θ 0 2 π

8 π 35

E este é o nosso valor!

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2 d z d y d x = 8 π 35

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Esboce o sólido descrito pelas inequações.
Identifique a superfície de acordo com a equação dada.
Mude o sistema de coordenadas de retangulares para cilíndricas.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 x y z d z d x d y
Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.