Enunciado

Determine o volume do sólido dado. Uma das cunhas obtidas pelo corte do cilindro x 2 + 9 y 2 = a 2 pelos planos z = 0 e z = m x .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral de acordo com a região dada. Bom, para esse caso em específico, temos que a região dada é uma região bem genérica, então, vamos fazer algumas suposições: vamos utilizar a cunha acima do plano z = 0 e abaixo do plano z = m x , além de observar que temos o mesmo volume para m < 0 e m > 0 , sendo assim, vamos utilizar m > 0 e teremos a seguinte integral iterada

V = 2 ⋅ ∫ 0 a 3 ∫ 0 a 2 - 9 y 2 m x   d x   d y

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 0 a 2 - 9 y 2 m x   d x = 2 ⋅ m x 2 2 0 a 2 - 9 y 2 = m ⋅ a 2 - 9 y 2  

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 a / 3     m ⋅ a 2 - 9 y 2     d y = m a 2 y - 9 m y 3 3 0 a 3 = m ⋅ a 3 3 - a 3 9 = 2 9 ⋅ m a 3

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

2 9 ⋅ m a 3

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Calcule a integral iterada.
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