Enunciado

Determine o volume do sólido dado. Acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do semicone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral de acordo com a região dada. Primeiramente devemos encontrar onde nosso paraboloide se cruza com o semicone e esse encontro ocorre em

x 2 + y 2 = x 2 + y 2

Isso ocorre quando x 2 + y 2 = 1   o u   0 . Sendo assim, nós teremos

V = ∫ ∫ x 2 + y 2 ≤ 1 ∫ x 2 + y 2 x 2 + y 2 d z   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 r r   d z   d r   d θ

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ r 2 r r   d z = r z r 2 r = r 2 - r 3

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 3   d r   d θ

Novamente tomando a integral mais externa ficaremos com

∫ 0 1 r 2 - r 3   d r = r 3 3 - r 4 4 0 1 = 1 3 - 1 4 = 1 12

Por fim, ficamos com a integral

∫ 0 2 π 1 12   d θ = 2 π 12 = π 6

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

π 6

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Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4 x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = 0 e y = z + 2
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo parabolóide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2 x + y + z = 4
Calcule a integral tripla. ∭ E x yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y