Enunciado

Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,   0,0 , 1 , 0,2 , 0   e   2,2 , 0 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral acima de acordo com a região dada. Primeiramente, vamos observar como é nossa região de integração que é dada por

Agora, escreveremos nossa integral de forma iterada, para facilitar nossa resolução, de modo que obteremos

V = ∫ 0 2 ∫ 0 y ∫ 0 2 - y 2 d z   d x   d y

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 0 2 - y 2 1   d z = z 0 2 - y 2 = 2 - y 2

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 - y 2         d x   d y

Continuando a resolução novamente com a integral mais interna vamos ter

∫ 0 y 2 - y 2   d x = x - x y 2 0 y = y - y 2 2

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples

∫ 0 2 y - y 2 2   d y = y 2 2 - y 3 6 0 2 = 4 2 - 8 6 = 2 3

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

2 3

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Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla.
Calcule a integral tripla.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x