Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ x z d V

Sob a região T que é o tetraedro com vértices (0,0 , 0) , (1,0 , 1) , (0,1 , 1) e ( 0,0 , 1 ) .

As imagens a seguir ilustram a região de interesse descrita no enunciado:

Dessa forma, com base nas imagens, podemos reescrever a integral como:

int_0^1 int_x^1 int_0^(z - x) x z d y d z d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por y :

int_0^1 int_x^1 [x z y]_(y = 0)^(y = z - x) d z d x = int_0^1 int_x^1 {x z [(z - x) - (0)]} d z d x

Simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_x^1 (x z^2 - x^2 z) d z d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de z :

int_0^1 [(1)/(3) x z^3 - (1)/(2) x^2 z^2]_(z = x)^(z = 1) d x = int_0^1 {[(1)/(3) x (1)^3 - (1)/(2) x^2 (1)^2] - [(1)/(3) x (x)^3 - (1)/(2) x^2 (x)^2]} d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^1 ((1)/(3) x - (1)/(2) x^2 - (1)/(3) x^4 + (1)/(2) x^4) d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[(1)/(6) x^2 - (1)/(6) x^3 + (1)/(30) x^5]_0^1 = {[(1)/(6) (1)^2 - (1)/(6) (1)^3 + (1)/(30) (1)^5] - [0]}

= (1)/(6) - (1)/(6) + (1)/(30) - 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ x z d V = (1)/(30)

Resposta

∭ x z d V = (1)/(30)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde, E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Calcule a integral tripla.
Calcule a integral tripla.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x