Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitada pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 6

Passo 1

Os planos coordenados são as planos formados entre os eixos, quando pegamos de 2 em 2 separados, ou podemos dizer que são os planos x = 0 , y = 0 e z = 0 .

Como nas integrais duplas calculamos a integral de uma função z = f ( x , y ) , precisamos achar a intersecção do plano dado com o plano z = 0 , para analizarmos a região de integração.

3 x + 2 y + z = 6

Quando z = 0

3 x + 2 y = 6

Isolando y

2 y = 6 - 3 x

y = 6 - 3 x 2

No plano z = 0 temos

Achando as intersecções com x = 0 e y = 0 :

y = 6 - 3 x 2

Quando x = 0

y = 6 2 = 3

E quando y = 0

6 - 3 x 2 = 0

6 - 3 x = 0

3 x = 6

x = 2

Então a reta se intersecta no eixo nos pontos ( 2,0 ) e ( 0,3 ) e podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   0 ≤ x ≤ 2 ,     0 ≤ y ≤ 6 - 3 x 2

Passo 2

Para saber a função que iremos integrar, basta isolar z na equação do plano

3 x + 2 y + z = 6

z = 6 - 3 x - 2 y

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = 6 - 3 x - 2 y na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 6 - 3 x - 2 y   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ 0 2 6 y - 3 x y - y 2 0 6 - 3 x 2 d x = ∫ 0 2 6 6 - 3 x 2 - 3 x 6 - 3 x 2 - 6 - 3 x 2 2 d x

= ∫ 0 2 18 - 9 x - 18 x - 9 x 2 2 - 36 - 36 x + 9 x 2 4 d x

= ∫ 0 2 18 - 9 x - 9 x + 9 x 2 2 - 9 + 9 x - 9 x 2 4 d x

= ∫ 0 2 9 - 9 x + 9 x 2 4 d x

Agora em relação a x

= 9 x - 9 x 2 2 + 3 x 3 4 0 2 = 18 - 9 ⋅ 2 2 2 + 3 ⋅ 2 3 4

= 18 - 18 + 6 = 6

Resposta

= 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule
Calcule
Exercício de Livro
Seja B o conjunto x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 , a0eb0 . Verifique que: ∬ B f x , y d x d y = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρf a ρ cos ⁡ θ , bρ s e nθ d ρ d θ
8. Considere a função g(x, y) = f x 2 + y 2 onde f (u) é uma função de uma variável real a valores reais, contínua em [a, b], 0 ≤ a a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 e 0 ≤ z ≤ g(x, y)}Verifique que B é gerado pel