Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   1 ] , y varia de 1 - 1 - x 2 a 1 + 1 - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 + 1 - x 2

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo. Então, fazendo:

y = 1 ± 1 - x 2 → y 2 - 2 y + 1 = 1 - x 2 → x 2 + y 2 = 2 y

E

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d y d x = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d y d x = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto como B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

x 2 + y 2 = 2 y → ρ 2 c o s 2 θ + ρ 2 s e n 2 θ = 2 ρ s e n θ

∴ ρ = 2 s e n θ

E:

0 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 2 s e n θ   e   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x y   d y d x = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 s e n θ c o s θ   ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π / 2 s e n θ c o s θ ∫ 0 2 s e n θ ρ 3 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ 0 π / 2 s e n θ c o s θ ρ 4 4 | 2 s e n θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 π / 2 s e n θ c o s θ 16 s e n 4 θ 4 d θ = 4 ∫ 0 π / 2 s e n 5 θ c o s θ d θ

Passo 4

Resolvendo a integral pelo método da substituição simples com u = s e n θ e d u = c o s θ d θ , então:

Quando θ = π / 2 → u = 1

Quando θ = 0 → u = 0

Dessa forma:

= 4 ∫ u 5 d u | 1 0 = 4 u 6 6 | 1 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 2 3 1 - 0 = 2 3

Resposta

2 3

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