Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   1 ] , y varia de x 2 a 2 - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 - x 2

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo de raio r = 2 e uma parábola. Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d y d x = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d y d x = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = x 2 → ρ = s e n θ c o s 2 θ

Quando y = 2 - x 2 → ρ = 2

Quando x = 0 → θ = π 2

Quando x = 1 → θ = 0

E, como a região é definida por duas figuras diferentes, o intervalo será dividido em dois:

0 ≤ θ ≤ π 4

E

π 4 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ s e n θ c o s 2 θ   e   0 ≤ θ ≤ π 4 ,   0 ≤ ρ ≤ 2   e π 4 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B y 2   d y d x = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 c o s 2 θ + ρ 2 s e n 2 θ   ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e n θ c o s 2 θ ρ 2 d ρ d θ + ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 2 ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ 0 π / 4 ρ 3 3 | s e n θ c o s 2 θ 0 d θ + ∫ π / 4 π / 2 ρ 3 3 | 2 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ 0 π 4 s e n 3 θ c o s 6 θ d θ + ∫ π 4 π 2 2 2 d θ

Passo 4

Utilizando a identidade trigonométrica

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Podemos reescrever:

= 1 3 ∫ 0 π 4 s e n θ 1 - c o s 2 θ c o s 6 θ d θ + ∫ π 4 π 2 2 2 d θ

= 1 3 ∫ 0 π 4 s e n θ c o s 6 θ - s e n θ c o s 4 θ d θ + ∫ π 4 π 2 2 2 d θ

Resolvendo a primeira integral pelo método da substituição com u = c o s θ , tal que d u = - s e n θ d θ , então:

∫ 1 u 6 - 1 u 4 - d u = 1 5 u 5 - 1 3 u 3 → 1 5 c o s 5 θ - 1 3 c o s 3 θ

Então:

= 1 3 1 5 c o s 5 θ - 1 3 c o s 3 θ | π / 4 0 + 2 2 θ | π / 2 π / 4

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 1 5 c o s 5 π 4 - 1 3 c o s 3 π 4 - 1 5 + 1 3 + 2 2 π 2 - π 4

= 1 3 32 2 40 - 8 2 12 + 2 15 + 2 π - π 2

= 1 3 4 2 5 - 2 2 3 + 2 15 + 2 π - π 2

= 1 3 2 2 + 2 15 + 2 2 π

= 1 3 2 15 2 + 1 + 2 2 π

Resposta

1 3 2 15 2 + 1 + 2 2 π

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