Enunciado

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de x^2 a sqrt(2 - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , x^2 <= y <= sqrt(2 - x^2)}

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo de raio r = sqrt(2) e uma parábola. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d y d x = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d y d x = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = x^2 -> rho = (s e n theta)/(c o s^2 theta)

Quando y = sqrt(2 - x^2) -> rho = sqrt(2)

Quando x = 0 -> theta = (pi)/(2)

Quando x = 1 -> theta = 0

E, como a região é definida por duas figuras diferentes, o intervalo será dividido em dois:

0 <= theta <= (pi)/(4)

E

(pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= (s e n theta)/(c o s^2 theta) e 0 <= theta <= (pi)/(4) , 0 <= rho <= sqrt(2) e (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (y^2) d y d x = int int_B_rho theta (sqrt(rho^2 c o s^2 theta + rho^2 s e n^2 theta)) rho d rho d theta

= int_0^(pi // 4) [int_0^((s e n theta)/(c o s^2 theta)) (rho^2) d rho] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [int_0^(sqrt(2)) (rho^2) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_0^(pi // 4) [(rho^3)/(3)] | [[(s e n theta)/(c o s^2 theta)],[0]] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [(rho^3)/(3)] | [[sqrt(2)],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) [int_0^((pi)/(4)) [(s e n^3 theta)/(c o s^6 theta)] d theta + int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) [2 sqrt(2)] d theta]

Passo 4

Utilizando a identidade trigonométrica

s e n^2 theta = 1 - c o s^2 theta

Podemos reescrever:

= (1)/(3) [int_0^((pi)/(4)) [(s e n theta (1 - c o s^2 theta))/(c o s^6 theta)] d theta + int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) [2 sqrt(2)] d theta]

= (1)/(3) [int_0^((pi)/(4)) [(s e n theta)/(c o s^6 theta) - (s e n theta)/(c o s^4 theta)] d theta + int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) [2 sqrt(2)] d theta]

Resolvendo a primeira integral pelo método da substituição com u = c o s theta , tal que d u = - s e n theta d theta , então:

int [(1)/(u^6) - (1)/(u^4)] (- d u) = (1)/(5 u^5) - (1)/(3 u^3) -> (1)/(5 c o s^5 theta) - (1)/(3 c o s^3 theta)

Então:

= (1)/(3) [[(1)/(5 c o s^5 theta) - (1)/(3 c o s^3 theta)] | [[pi,//,4],[0]] + 2 sqrt(2) [theta] | [[pi,//,2],[pi,//,4]]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) [[(1)/(5 c o s^5 ((pi)/(4))) - (1)/(3 c o s^3 ((pi)/(4))) - (1)/(5) + (1)/(3)] + 2 sqrt(2) [(pi)/(2) - (pi)/(4)]]

= (1)/(3) [[(32 sqrt(2))/(40) - (8 sqrt(2))/(12) + (2)/(15)] + sqrt(2) [pi - (pi)/(2)]]

= (1)/(3) [[(4 sqrt(2))/(5) - (2 sqrt(2))/(3) + (2)/(15)] + sqrt(2) [pi - (pi)/(2)]]

= (1)/(3) [[(2 sqrt(2) + 2)/(15)] + (sqrt(2))/(2) pi]

= (1)/(3) [(2)/(15) (sqrt(2) + 1) + (sqrt(2))/(2) pi]

Resposta

(1)/(3) [(2)/(15) (sqrt(2) + 1) + (sqrt(2))/(2) pi]

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