Passo 1

Através da integral dupla, tem-se:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

= ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo deslocado da origem de raio r . Visto que α > 0 e β > 0 :

- r ≤ x - α ≤ r → - r + α ≤ x ≤ r + α

- r ≤ y - β ≤ r → - r + β ≤ y ≤ r + β

Assim, fazendo:

x - α = ρ c o s θ

y - β = ρ s e n θ

Tem-se que:

f x ,   y = g ρ ,   θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ   d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de eixos a e b , então as novas variáveis serão dadas por:

x - α 2 + y - β 2 = r 2 → ρ c o s θ 2 + ρ s e n θ 2 = r 2 ∴ ρ = r

Com isso:

0 ≤ ρ ≤ r

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ r   e   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Logo, a integral será dada por:

∫ 0 b ∫ 0 a f x ,   y d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 r g ρ ,   θ ρ   d ρ d θ

Que pode ser reorganizado em:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 r ρ   g ρ ,   θ   d ρ d θ

Portanto, conclui-se que:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 r ρ   g ρ ,   θ   d ρ d θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados