Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = 1 / (xy) sobre o quadrado ln 2 ≤ x ≤ 2 ln 2, ln 2 ≤ y ≤ 2 ln 2

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para o valor médio temos que:

1 b - a ∫ a b 1 d - c ∫ c d f x , y d y   d x

Assim:

1 ( 2 ln ⁡ 2 - l n ⁡ ( 2 ) )   ∫ l n ⁡ ( 2 ) 2 ln ⁡ 2 1 ( 2 ln ⁡ 2 - l n ⁡ ( 2 ) )   ∫ ln ⁡ 2 2   ln ⁡ 2 1 x y d y   d x

1 ln ⁡ 2 2 ∫ ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 1 x y d y   d x

Passo 2

1 ln ⁡ 2 2 ∫ ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 1 x ln ⁡ y ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 d x

1 ln ⁡ 2 2 ∫ ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 1 x 2 ln ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ ln ⁡ 2   d x

1 ln ⁡ 2 2 ∫ ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 1 x ln ⁡ 2 d x

,

Passo 3

1 ln ⁡ 2 ∫ ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2 1 x   d x

1 ln ⁡ 2 ln ⁡ x ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 2

1 ln ⁡ 2 ln ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

1 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

1

Resposta

1

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