Enunciado

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

8- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = x e y = x / 2 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são:

b) semicírculos com diâmetros que se estendem através da base do sólido.

Passo 1

A área de um semicírculo é a metade da de um círculo e pode ser dada por:

A = π r 2 2

Mas d que é o dímetro é o dobro do raio ,logo:

A = π 2 d 2 2 = π d 2 8

E a nossa base continua a mesma

E nosso diâmetro fica:

d = x - x 2

Passo 2

Calculando a área temos:

A = π 8 x - x x + x 2 4

Como nosso intervalo x varia de 0 a 4, temos:

V = π 8 ∫ 0 4 x - x 3 2 + x 2 4 d x

O que nos dá:

V = π 8 x 2 2 - 2 5 x 5 2 + x 3 12 0 4

Passo 3

Aplicando o intervalo temos:

V = π 8 4 2 2 - 2 5 4 5 2 + 4 3 12 - 0

Logo:

V = π 8 8 - 2 5 × 32 + 16 3

Fazendo MMC:

V = π 8 120 - 192 + 80 15 = π 15

Resposta

V = π 15

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